第 1 题
- 题型：选择题
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分值：5分
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考点：偏导数的概念与计算
- 设函数 z=z(x,y)由方程 x−az=ey+az（a是非 0 常数）确定，则（ ）
(A) ∂x∂z−∂y∂z=a1(B) ∂x∂z+∂y∂z=a1(C) ∂x∂z−∂y∂z=−a1(D) ∂x∂z+∂y∂z=−a1---
第 2 题
- 题型：选择题
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分值：5分
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考点：求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域
- 幂级数 ∑n=1∞(43+(−1)n)nx2n的收敛域是（ ）
(A) [−2,2](B) [−1,1](C) (−2,2)(D) (−1,1)---
第 3 题
- 题型：选择题
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分值：5分
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考点：函数的单调性、极值与最值
- 设函数 f(x)在区间 [−1,1]上有定义，则（ ）
(A) 当 f(x)在 (−1,0)单调递减，在 (0,1)单调递增时，f(0)是极小值
(B) 当 f(0)是极小值时，f(x)在 (−1,0)单调递减，在 (0,1)单调递增
(C) 当 f(x)的图形在 [−1,1]是凹的时，x−1f(x)−f(1)在 [−1,1]单调递增
(D) x−1f(x)−f(1)在 [−1,1]单调递增时，f(x)的图形在 [−1,1]是凹的
第 4 题
- 题型：选择题
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分值：5分
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考点：重积分的计算
- 已知有界区域 Ω由曲面 z=4−x2−y2与 z=x2+y2围成，函数 f(u)连续，则
$$(A) $\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 dr \int_r^{\sqrt{4 - r^2} f(r^2 + z^2) r \, dz}$(B) $\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{2} dr \int_0^{\sqrt{4 - r^2} f(r^2 + z^2) r \, dz}}$(C) $\int_0^{2\pi} d\theta \int_{\frac{\pi}{4}^{\frac{\pi}{2} d\varphi \int_0^2 f(r^2) r^2 \sin\varphi \, dr}}$(D) $\int_0^{2\pi} d\theta \int_{\frac{\pi}{2}^{\pi} d\varphi \int_0^2 f(r^2) r^2 \sin\varphi \, dr}$---
## 第 5 题
- **题型**：选择题
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**分值**：5分
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**考点**：伴随矩阵与可逆矩阵
5. 单位矩阵经过若干次互换两行得到的矩阵成为置换矩阵. 设 $A$为 $n$阶置换矩阵, $A^*$为 $A$的伴随矩阵, 则( )
(A) $A^*$为置换矩阵
(B) $A^{-1}$为置换矩阵
(C) $A^{-1} = A^*$(D) $A^{-1} = -A^*$---
## 第 6 题
- **题型**：选择题
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**分值**：5分
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**考点**：向量组之间的线性表示
6. 设 $A$，$B$为 $n$阶矩阵，$\beta$为 $n$维向量，若 $A$的列向量组可由 $B$的列向量组表示，则（ ）
(A) 当 $Ax = \beta$有解时，$Bx = \beta$有解
(B) 当 $A^T x = \beta$有解时，$B^T x = \beta$有解
(C) 当 $Bx = \beta$有解时，$Ax = \beta$有解
(D) 当 $B^T x = \beta$有解时，$A^T x = \beta$有解
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## 第 7 题
- **题型**：选择题
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**分值**：5分
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**考点**：二次型
7. 设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+4x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3$。若方程 $f(x_1,x_2,x_3)=-1$表示的曲面为圆柱面，则（ ）
(A) $a=-4$，且 $f(x_1,x_2,x_3)$的规范型为 $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$(B) $a=-4$，且 $f(x_1,x_2,x_3)$在正交变换下的标准型为 $-6y_1^2-6y_2^2$(C) $a=2$，且 $f(x_1,x_2,x_3)$的规范型为 $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$(D) $a=2$，且 $f(x_1,x_2,x_3)$在正交变换下的标准型为 $-6y_1^2-6y_2^2$---
## 第 8 题
- **题型**：选择题
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**分值**：5分
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**考点**：数学期望与方差
8. 设随机变量 $X \sim N(1,2)$，令 $f(t) = E\left[(X + t)^2\right]$，则 $f(t)$的最小值点和最小值分别为（ ）
(A) 1,2
(B) 1,4
(C) -1,2
(D) -1,4
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## 第 9 题
- **题型**：选择题
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**分值**：5分
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**考点**：随机变量及其分布
9. 设连续型随机变量 $X$的分布函数为 $F(x)$，随机变量 $Y$的分布函数为 $F(ay + b)$，$X$的数学期望为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$（$\sigma > 0$），若 $Y$的数学期望和方差分别为 0 和 1，则（ ）
(A) $a = \sigma,\ b = \mu$(B) $a = \sigma,\ b = -\mu$(C) $a = \frac{1}{\sigma},\ b = \mu$(D) $a = \frac{1}{\sigma},\ b = -\mu$---
## 第 10 题
- **题型**：选择题
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**分值**：5分
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**考点**：随机变量及其分布
10. 设随机变量 $X$的概率分布为 $P\{X = k\} = \frac{1}{2^{k+1} + \frac{1}{3^k}}$（$k = 1,2,\dots$），则对于正整数 $m$、$n$有（ ）
(A) $P\{X > m+n \mid X > m\} = P\{X > m\}$(B) $P\{X > m+n \mid X > m\} = P\{X > n\}$(C) $P\{X > m+n \mid X > m\} > P\{X > m\}$(D) $P\{X > m+n \mid X > m\} > P\{X > n\}$---
## 第 11 题
- **题型**：填空题
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**分值**：5分
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**考点**：偏导数的概念与计算
11. 设向量 $\vec{v}_1 = (0, x, z)$，$\vec{v}_2 = (y, 0, 1)$，令 $\vec{F}(x, y, z) = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2$，则 $\text{div}\,\vec{F} =$_________.
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## 第 12 题
- **题型**：填空题
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**分值**：5分
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**考点**：函数极限的计算
12. $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{\ln(1+x)}{x \sin x} \right) =$____________.
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## 第 13 题
- **题型**：填空题
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**分值**：5分
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**考点**：导数与微分的计算
13. 设函数 $y = y(x)$由参数方程 $$\begin{cases} x = 2\sin^2 t \\ y = t + \cos t \end{cases}$$($t \in (0, \frac{\pi}{2})$) 确定，则 $\frac{d^2 y}{dx^2} |_{t = \frac{\pi}{4} = }$________.
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## 第 14 题
- **题型**：填空题
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**分值**：5分
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**考点**：反常积分的计算与敛散性
14. 设 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\ln(x+1)}{x^2} \, dx =$____________.
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## 第 15 题
- **题型**：填空题
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**分值**：5分
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**考点**：特征值与特征向量
15. 设矩阵 $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & a & 2 \\ 0 & 2 & a \end{pmatrix}$$, $$B = \begin{pmatrix} a & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & -1 & a \end{pmatrix}$$, 记 $m(X)$为 3 阶矩阵 $X$的实特征值中的最大值, 若 $m(A) < m(B)$, 则 $a$的取值范围为__________.
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## 第 16 题
- **题型**：填空题
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**分值**：5分
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**考点**：数学期望与方差
16. 设随机变量 $X$服从参数为 1 的泊松分布，随机变量 $Y$服从参数为 3 的泊松分布，$X$与 $Y-X$相互独立，则 $E(XY)=$_________.
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## 第 17 题
- **题型**：解答题
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**分值**：10分
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**考点**：多元函数的极值问题
17.（本题满分10分）
求 $f(x,y) = (2x^2 - y^2)e^x$的极值。
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## 第 18 题
- **题型**：解答题
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**分值**：12分
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**考点**：全微分的概念与计算
18.（本题满分12分）
设 $f(u)$在 $(0,+\infty)$内具有3阶连续导数，且存在可微函数 $F(x,y)$使
$$dF(x,y) = \frac{f''(xy)}{x^2 y} dx + \frac{f''(xy)}{x y^2} dy \quad (xy > 0).
$$(1) 证明：$\frac{f''(u)}{u} - \frac{f(u)}{u} = c$，$c$为常数；
(2) 设 $f(1) = 1$，$f'(1) = -1$，$f''(1) = 0$，求 $f(u)$的表达式。
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## 第 19 题
- **题型**：解答题
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**分值**：12分
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**考点**：第二类曲线积分
19.（本题满分 12 分）
设有向曲线 $L$为椭圆 $x^2 + 3y^2 = 1$沿逆时针方向从点 $A\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$到点 $B\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$的部分，计算曲线积分
$$I = \int_L \left(e^{x^2} \sin x - 2xy\right) dx + \left(6x - x^2 - y \cos^4 y\right) dy.
$$---
## 第 20 题
- **题型**：解答题
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**分值**：12分
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**考点**：微分中值定理
20. (本题满分 12 分)
设可导函数 $f(x)$严格单调递增且满足 $\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 0$，记 $a = \int_{0}^{1} f(x) \, dx$。
(1) 证明 $a > 0$；
(2) 令 $F(x) = a(1 - x^2) + \int_{1}^{x} f(t) \, dt$，证明：存在 $\xi \in (-1,1)$使 $F''(\xi) = 0$。
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## 第 21 题
- **题型**：解答题
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**分值**：12分
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**考点**：矩阵的运算与变换
21. (本题满分 12 分)
已知向量组 $$\alpha_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$$，$$\alpha_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$$，$$\alpha_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$，$$\alpha_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$，记 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$，$G = (\alpha_1, \alpha_2)$(1) 证明：$\alpha_1, \alpha_2$是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$的极大线性无关组。
(2) 求矩阵 $H$使得 $A = GH$，并求 $A^{10}$。
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## 第 22 题
- **题型**：解答题
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**分值**：12分
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**考点**：估计量的无偏性
22. (本题满分 12 分)
假设某种元件寿命服从指数分布，其均值 $\theta$是未知参数，为估计 $\theta$，取 $n$个这种元件同时做寿命实验，试验直到出现 $k$($1 \leq k \leq n$) 个元件失效时停止。
(1) 若 $k=1$，失效元件寿命记为 $T$，(i) 求 $T$的概率密度；(ii) 确定 $a$，使 $\hat{\theta} = aT$是 $\theta$的无偏估计，并求 $D(\hat{\theta})$；
(2) 已知 $k$个失效元件寿命值分别为 $t_1, t_2, \cdots, t_k$，且 $t_1 \leq t_2 \leq \cdots \leq t_k$，似然函数为
$$L(\theta) = \frac{1}{\theta^k} e^{-\frac{1}{\theta} \left[ \sum_{i=1}^k t_i + (n-k)t_k \right]},
$$求 $\theta$的最大似然估计值。
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