数学二 · 2022 年真题

来源：真题强 · 共 22 题（选择 10 / 填空 6 / 解答 6）· 2026-08-14 图片 OCR 转写为 LaTeX 文字版

第 1 题

选择题 · 5分 · 考点：无穷小量 ｜ ⚠️ OCR 不完整，看原题图

（图片仅包含题目后半部分，题干前段与①②③内容未在图中/未识别到） ④ 若 $\alpha (x)-\beta (x)=o(\alpha (x))$，则 $\alpha (x)\sim \beta (x)$， 真命题的序号为( ) A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④

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第 2 题

选择题 · 5分 · 考点：二次积分与变换积分次序

${\int }_0^2\mathrm{d}y{\int }_y^2\frac{y}{\sqrt{1+x^3}}\mathrm{d}x=()$ A. $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B. $\frac{1}{3}$ C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D. $\frac{2}{3}$

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第 3 题

选择题 · 5分 · 考点：曲线的凹凸性、拐点及渐近线

设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处有二阶导数，则 ( ) A. 当 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内单调增加时，$f^{\prime }(x_0)>0$ B. 当 $f^{\prime }(x_0)>0$ 时，$f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内单调增加 C. 当 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内是凹函数时，$f^{\prime \prime }(x_0)>0$ D. 当 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$ 时，$f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内是凹函数

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第 4 题

选择题 · 5分 · 考点：偏导数的概念与计算

已知 $f(t)$ 连续，令 $F(x,y)={\int }_0^{x-y}(x-y-t)f(t)\mathrm{d}t$，则( ) A. $\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y},\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^2}$ B. $\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial y},\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}=-\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^2}$ C. $\frac{\partial F}{\partial x}=-\frac{\partial F}{\partial y},\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^2}$ D. $\frac{\partial F}{\partial x}=-\frac{\partial F}{\partial y},\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}=-\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^2}$

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第 5 题

选择题 · 5分 · 考点：反常积分的计算与敛散性

设 $p$ 为常数，若反常积分 ${\int }_0^1\frac{\ln x}{x^p(1-x{)}^{1-p}}\mathrm{d}x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是( ) A. $(-1,1)$ B. $(-1,2)$ C. $(-\infty ,1)$ D. $(-\infty ,2)$

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第 6 题

选择题 · 5分 · 考点：数列敛散性的判定

设数列 $\{x_n\}$ 满足 $-\frac{\pi }{2}⩽x_n⩽\frac{\pi }{2}$，则 ( ) A. 若 $\underset{n\to \infty }{\lim }\cos (\sin x_n)$ 存在，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$ 存在 B. 若 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sin (\cos x_n)$ 存在，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$ 存在 C. 若 $\underset{n\to \infty }{\lim }\cos (\sin x_n)$ 存在，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sin x_n$ 存在，但 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$ 不一定存在 D. 若 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sin (\cos x_n)$ 存在，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }\cos x_n$ 存在，但 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$ 不一定存在

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第 7 题

选择题 · 5分 · 考点：定积分的概念与性质

若 $I_1={\int }_0^1\frac{x}{2(1+\cos x)}\mathrm{d}x$，$I_2={\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+\cos x}\mathrm{d}x$，$I_3={\int }_0^1\frac{2x}{1+\sin x}\mathrm{d}x$，则( ) A. $I_1<I_2<I_3$ B. $I_2<I_1<I_3$ C. $I_1<I_3<I_2$ D. $I_3<I_2<I_1$

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第 8 题

选择题 · 5分 · 考点：矩阵的相似与相似对角化

设 $\mathbf{A}$ 为 3 阶矩阵，$\mathbf{\Lambda }=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，则 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $1,-1,0$ 的充分必要条件是 ( ) A. 存在可逆矩阵 $\mathbf{P},\mathbf{Q}$，使得 $\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }\mathbf{Q}$ B. 存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使得 $\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{P}}^{-1}$ C. 存在正交矩阵 $\mathbf{Q}$，使得 $\mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{Q}}^{-1}$ D. 存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使得 $\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}$

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第 9 题

选择题 · 5分 · 考点：线性方程组 ｜ ⚠️ OCR 不完整，看原题图

[题干识别失败]（两次调用均仅识别到如下选项，题干文字未能识别，未凭记忆补写） A. 无解 B. 有解 C. 有无穷多解或无解 D. 有唯一解或无解

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第 10 题

选择题 · 5分 · 考点：向量组之间的线性表示

设 ${\mathbf{\alpha }}_1=(\lambda ,1,1{)}^{\mathrm{T}}$，${\mathbf{\alpha }}_2=(1,\lambda ,1{)}^{\mathrm{T}}$，${\mathbf{\alpha }}_3=(1,1,\lambda {)}^{\mathrm{T}}$，${\mathbf{\alpha }}_4=(1,\lambda ,{\lambda }^2{)}^{\mathrm{T}}$，若 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 与 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_4$ 等价，则 $\lambda$ 的取值范围是( ) A. $\{0,1\}$ B. $\{\lambda \mid \lambda \in \mathbf{R},\lambda \ne -2\}$ C. $\{\lambda \mid \lambda \in \mathbf{R},\lambda \ne -1,\lambda \ne -2\}$ D. $\{\lambda \mid \lambda \in \mathbf{R},\lambda \ne -1\}$

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第 11 题

填空题 · 5分 · 考点：函数极限的计算

$\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{1+{\mathrm{e}}^x}{2}\right)}^{\cot x}=$ ______

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第 12 题

填空题 · 5分 · 考点：导数与微分的计算

已知函数 $y=y(x)$ 由方程 $x^2+xy+y^3=3$ 确定，则 $y^{\prime \prime }(1)=$ ____

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第 13 题

填空题 · 5分 · 考点：定积分的计算

${\int }_0^1\frac{2x+3}{x^2-x+1}\mathrm{d}x=$ ______

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第 14 题

填空题 · 5分 · 考点：常系数齐次线性微分方程

微分方程 $y^{\prime \prime \prime }-2y^{\prime \prime }+5y^{\prime }=0$ 的通解为 $y(x)=$ ______

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第 15 题

填空题 · 5分 · 考点：定积分的应用

已知曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r=\sin 3\theta \left(0⩽\theta ⩽\frac{\pi }{3}\right)$，则 $L$ 围成的有界区域的面积为 ____

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第 16 题

填空题 · 5分 · 考点：矩阵的运算与变换

设 $\mathbf{A}$ 为 3 阶矩阵，交换 $\mathbf{A}$ 的第 2 行和第 3 行，再将第 2 列的 $-1$ 倍加到第 1 列，得到矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& -1\\ 1& -1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$，则 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 的迹 $\mathrm{tr}({\mathbf{A}}^{-1})=$ ______

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第 17 题

解答题 · 10分 · 考点：导数与微分的概念

（本题满分 10 分） 已知函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，且 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f({\mathrm{e}}^{x^2})-3f(1+{\sin }^{2}x)}{x^2}=2$，求 $f^{\prime }(1)$.

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第 18 题

解答题 · 12分 · 考点：一阶线性微分方程

（本题满分 12 分）设函数 $y(x)$ 是微分方程 $2x{y}^{\prime }-4y=2\ln x-1$ 满足条件 $y(1)=\frac{1}{4}$ 的解，求曲线 $y=y(x)(1⩽x⩽\mathrm{e})$ 的弧长.

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第 19 题

解答题 · 12分 · 考点：二重积分的计算

（本题满分 12 分） 已知平面区域 $D=\{(x,y)\mid y-2⩽x⩽\sqrt{4-y^2},0⩽y⩽2\}$，计算 $I=\underset{D}{\iint }\frac{(x-y{)}^2}{x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

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第 20 题

解答题 · 12分 · 考点：多元函数的极值问题

（本题满分 12 分） 已知可微函数 $f(u,v)$ 满足 $\frac{\partial f(u,v)}{\partial u}-\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}=2(u-v){\mathrm{e}}^{-(u+v)}$，且 $f(u,0)=u^2{\mathrm{e}}^{-u}$. I. 记 $g(x,y)=f(x,y-x)$，求 $\frac{\partial g(x,y)}{\partial x}$; II. 求 $f(u,v)$ 的表达式与极值.

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第 21 题

解答题 · 12分 · 考点：微分中值定理

（本题满分 12 分） 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上有二阶连续导数，证明：$f^{\prime \prime }(x)⩾0$ 的充分必要条件是对任意不同的实数 $a,b$，都有 $f\left(\frac{a+b}{2}\right)⩽\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 成立.

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第 22 题

解答题 · 12分 · 考点：二次型

（本题满分 12 分） 已知二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=3x_1^2+4x_2^2+3x_3^2+2x_1{x}_3$. I. 求正交矩阵 $\mathbf{Q}$，使正交变换 $\mathbf{x}=\mathbf{Qy}$ 将二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ 化为标准形； II. 证明 $\underset{\mathbf{x}\ne 0}{\min }\frac{f(\mathbf{x})}{{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}}=2$.

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