数学三-2020年真题

第 1 题

• 题型：选择题 | 分值：4分 | 考点：函数极限的计算

1. 设 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-a}{x-a}=b$，则 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{\sin f(x)-\sin a}{x-a}=$（ ）

A. $b\sin a$B. $b\cos a$C. $b\sin f(a)$D. $b\cos f(a)$---

第 2 题

• 题型：选择题 | 分值：4分 | 考点：函数的连续性与间断点的类型

2. 函数 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x-1}}\ln |1+x|}{(e^x-1)(x-2)}$的第二类间断点的个数为（ ）

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

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第 3 题

• 题型：选择题 | 分值：4分 | 考点：变限积分

3. 设奇函数 $f(x)$在 $(-\infty ,+\infty )$上具有连续导数, 则（ ）

A. ${\int }_0^x[\cos f(t)+f^{\prime }(t)]dt$是奇函数

B. ${\int }_0^x[\cos f(t)+f^{\prime }(t)]dt$是偶函数

C. ${\int }_0^x[\cos f^{\prime }(t)+f(t)]dt$是奇函数

D. ${\int }_0^x[\cos f^{\prime }(t)+f(t)]dt$是偶函数

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第 4 题

• 题型：选择题 | 分值：4分 | 考点：幂级数

4. 设幂级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }n{a}_n(x-2{)}^n$的收敛区间为 $(-2,6)$，则 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n(x+1{)}^{2n}$的收敛区间为（ ）

A. $(-2,6)$B. $(-3,1)$C. $(-5,3)$D. $(-17,15)$---

第 5 题

• 题型：选择题 | 分值：4分 | 考点：线性方程组

5. 设 4 阶矩阵 $A=(a_{ij})$不可逆，$a_{12}$的代数余子式 $A_{12}\ne 0$，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$为矩阵 $A$的列向量组，$A^{\ast }$为 $A$的伴随矩阵，则方程组 $A^{\ast }\mathbf{x}=0$的通解为（ ）

A. $\mathbf{x}=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3$，其中 $k_1,k_2,k_3$为任意常数

B. $\mathbf{x}=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_4$，其中 $k_1,k_2,k_3$为任意常数

C. $\mathbf{x}=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_3+k_3{\alpha }_4$，其中 $k_1,k_2,k_3$为任意常数

D. $\mathbf{x}=k_1{\alpha }_2+k_2{\alpha }_3+k_3{\alpha }_4$，其中 $k_1,k_2,k_3$为任意常数

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第 6 题

• 题型：选择题 | 分值：4分 | 考点：特征值与特征向量

6. 设 $A$为 3 阶矩阵，${\alpha }_1,{\alpha }_2$为 $A$的属于特征值 1 的线性无关的特征向量，${\alpha }_3$为 $A$的属于特征值 $-1$的特征向量，则满足 $P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$的可逆矩阵 $P$为（ ）

A. $({\alpha }_1+{\alpha }_3,{\alpha }_2,-{\alpha }_3)$B. $({\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2,-{\alpha }_3)$C. $({\alpha }_1+{\alpha }_3,-{\alpha }_3,{\alpha }_2)$D. $({\alpha }_1+{\alpha }_2,-{\alpha }_3,{\alpha }_2)$---

第 7 题

• 题型：选择题 | 分值：4分 | 考点：随机事件和概率

7. 设 $A,B,C$为三个随机事件，且 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}$，$P(AB)=0$，$P(AC)=P(BC)=\frac{1}{12}$，则 $A,B,C$中恰有一个事件发生的概率为（ ）

A. $\frac{3}{4}$B. $\frac{2}{3}$C. $\frac{1}{2}$D. $\frac{5}{12}$---

第 8 题

• 题型：选择题 | 分值：4分 | 考点：二维随机变量及其分布

8. 设随机变量 $(X,Y)$服从二维正态分布 $N\left(0,0;1,4;-\frac{1}{2}\right)$，则下列随机变量中服从标准正态分布且与 $X$相互独立的是（ ）

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}(X+Y)$B. $\frac{\sqrt{5}}{5}(X-Y)$C. $\frac{\sqrt{3}}{3}(X+Y)$D. $\frac{\sqrt{3}}{3}(X-Y)$---

第 9 题

• 题型：填空题 | 分值：4分 | 考点：全微分的概念与计算

9. 设 $z=\arctan [xy+\sin (x+y)]$，则 $dz{|}_{(0,\pi )}=$________

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第 10 题

• 题型：填空题 | 分值：4分 | 考点：导数的几何意义

10. 曲线 $x+y+e^{2xy}=0$在点 $(0,-1)$处的切线方程为 ______

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第 11 题

• 题型：填空题 | 分值：4分 | 考点：微分学在经济学中的应用

11. 设某厂家生产某产品的产量为 $Q$，成本 $C(Q)=100+13Q$，该产品的单价为 $p$，需求量 $q(p)=\frac{800}{p+3}-2$，则该厂家获得最大利润时的产量为 ______

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第 12 题

• 题型：填空题 | 分值：4分 | 考点：定积分的应用

12. 设平面区域 D = {(x,y) \left| \frac{x}{2} \leqslant y \leqslant \frac{1}{1+x^2}, 0 \leqslant x \leqslant 1}，则 $D$绕 $y$轴旋转所成的旋转体的体积为 ______

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第 13 题

• 题型：填空题 | 分值：4分 | 考点：行列式

13. 行列式 $\left|\begin{array}{cccc}a& 0& -1& 1\\ 0& a& 1& -1\\ -1& 1& a& 0\\ 1& -1& 0& a\end{array}\right|=$______

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第 14 题

• 题型：填空题 | 分值：4分 | 考点：数学期望与方差

14. 设随机变量 $X$的概率分布为 $P\{X=k\}=\frac{1}{2^k}(k=1,2,3,\cdots )$，$Y$表示 $X$被 3 除的余数，则 $E(Y)=$______

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第 15 题

• 题型：解答题 | 分值：10分 | 考点：确定极限中的参数

15. (本题满分 10 分)
    已知 $a,b$为常数，若 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n-e$与 $\frac{b}{n^a}$在 $n\to \infty$时是等价无穷小，求 $a,b$。

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第 16 题

• 题型：解答题 | 分值：10分 | 考点：多元函数微分学的几何应用

16. (本题满分 10 分)
    求函数 $f(x,y)=x^3+8y^3-xy$的极值.

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第 17 题

• 题型：解答题 | 分值：10分 | 考点：常系数齐次线性微分方程

17. (本题满分 10 分)
    设函数 $y=f(x)$满足 $y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+5y=0$，且 $f(0)=1$，$f^{\prime }(0)=-1$。

Ⅰ. 求 $f(x)$的表达式；

Ⅱ. 设 $a_n={\int }_{n\pi }^{+\infty }f(x)dx$，求 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$。

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第 18 题

• 题型：解答题 | 分值：10分 | 考点：二重积分的计算

18. (本题满分 10 分)
    设 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1,y\ge 0\}$，连续函数 $f(x,y)$满足

$$求 $$\iint_D x f(x,y) \, dx dy. $$--- ## 第 19 题 - **题型**：解答题 | **分值**：10分 | **考点**：微分中值定理 19. (本题满分 10 分) 设函数 $f(x)$在区间 $[0,2]$上具有连续导数, $f(0) = f(2) = 0$, $M = \max\limits_{x \in [0,2]} \{|f(x)|\}$, 证明: Ⅰ. 存在 $\xi \in (0,2)$, 使得 $|f'(\xi)| \geq M$; Ⅱ. 若对任意的 $x \in (0,2)$, $|f'(x)| \leq M$, 则 $M = 0$. --- ## 第 20 题 - **题型**：解答题 | **分值**：11分 | **考点**：二次型 20. (本题满分 11 分) 设二次型 $f(x_1, x_2) = x_1^2 - 4x_1x_2 + 4x_2^2$经正交变换 $$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = Q \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}$$化为二次型 $g(y_1, y_2) = ay_1^2 + 4y_1y_2 + by_2^2$，其中 $a \geqslant b$。 I. 求 $a, b$的值； II. 求正交矩阵 $Q$。 --- ## 第 21 题 - **题型**：解答题 | **分值**：11分 | **考点**：矩阵的相似与相似对角化 21. (本题满分 11 分) 设 $A$为 2 阶矩阵，$P = (\alpha, A\alpha)$，其中 $\alpha$是非零向量且不是 $A$的特征向量。 Ⅰ. 证明 $P$为可逆矩阵； Ⅱ. 若 $A^2\alpha + A\alpha - 6\alpha = 0$，求 $P^{-1}AP$，并判断 $A$是否相似于对角矩阵。 --- ## 第 22 题 - **题型**：解答题 | **分值**：11分 | **考点**：协方差与相关系数 22. (本题满分 11 分) 设二维随机变量 $(X,Y)$在区域 $D = \{(x,y) \mid 0 < y < \sqrt{1 - x^2}\}$上服从均匀分布，令 $$Z_1 = \begin{cases} 1, & X - Y > 0, \\ 0, & X - Y \leq 0, \end{cases} \quad Z_2 = \begin{cases} 1, & X + Y > 0, \\ 0, & X + Y \leq 0. \end{cases} $$Ⅰ. 求二维随机变量 $(Z_1, Z_2)$的概率分布； Ⅱ. 求 $Z_1$与 $Z_2$的相关系数。 --- ## 第 23 题 - **题型**：解答题 | **分值**：11分 | **考点**：参数估计 23. (本题满分 11 分) 设某元件的使用寿命 $T$的分布函数为 $$F(t) = \begin{cases} 1 - {\mathrm{e}}^{-\left(\frac{t}{\theta}\right)^m}, & t \geq 0, \\ 0, & \text{其他}, \end{cases} $$其中 $\theta, m$为参数且均大于零. Ⅰ. 求概率 $P\{T > t\}$与 $P\{T > s + t \mid T > s\}$, 其中 $s > 0, t > 0$; Ⅱ. 任取 $n$个这种元件做寿命试验, 测得它们的寿命分别为 $t_1, t_2, \cdots, t_n$, 若 $m$已知, 求 $\theta$的最大似然估计值 $\hat{\theta}$. ---