数学二-2020年真题

第 1 题

• 题型：选择题 | 分值：4分 | 考点：无穷小量

1. $x\to 0^{+}$时, 下列无穷小量中最高阶是（ ）

A. ${\int }_0^x(e^{t^2}-1)dt$B. ${\int }_0^x\ln (1+\sqrt{t^3})dt$C. ${\int }_0^{\sin x}\sin t^{2}dt$D. ${\int }_0^{1-\cos x}\sqrt{{\sin }^{3}t}dt$---

第 2 题

• 题型：选择题 | 分值：4分 | 考点：函数的连续性与间断点的类型

2. 函数 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x-1}}\ln |1+x|}{(e^x-1)(x-2)}$的第二类间断点的个数为（ ）
   A. 1
   B. 2
   C. 3
   D. 4

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第 3 题

• 题型：选择题 | 分值：4分 | 考点：定积分的计算

3. ${\int }_0^1\frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}dx=\left(\right)$A. $\frac{{\pi }^2}{4}$B. $\frac{{\pi }^2}{8}$C. $\frac{\pi }{4}$D. $\frac{\pi }{8}$---

第 4 题

• 题型：选择题 | 分值：4分 | 考点：导数与微分的计算

4. 已知函数 $f(x)=x^2\ln (1-x)$，当 $n\ge 3$时，$f^{(n)}(0)=$（ ）
   A. $-\frac{n!}{n-2}$B. $\frac{n!}{n-2}$C. $-\frac{(n-2)!}{n}$D. $\frac{(n-2)!}{n}$---

第 5 题

• 题型：选择题 | 分值：4分 | 考点：偏导数的概念与计算

5. 关于函数 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}xy,& xy\ne 0\\ x,& y=0\\ y,& x=0\end{array}$给出以下结论:

① $\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(0,0)}=1$;
② $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}{|}_{(0,0)}=1$;
③ ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=0$;
④ ${\lim }_{y\to 0}{\lim }_{x\to 0}f(x,y)=0$其中正确的个数是（ ）

A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

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第 6 题

• 题型：选择题 | 分值：4分 | 考点：函数的单调性、极值与最值

6. 设函数 $f(x)$在区间 $[-2,2]$上可导, 且 $f^{\prime }(x)>f(x)>0$, 则 ( )

A. $\frac{f(-2)}{f(-1)}>1$B. $\frac{f(0)}{f(-1)}>\mathrm{e}$C. $\frac{f(1)}{f(-1)}<{\mathrm{e}}^2$D. $\frac{f(2)}{f(-1)}<{\mathrm{e}}^3$---

第 7 题

• 题型：选择题 | 分值：4分 | 考点：伴随矩阵与可逆矩阵

7. 设 4 阶矩阵 $A=(a_{ij})$不可逆，$a_{12}$代数余子式 $A_{12}\ne 0$，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$为矩阵 $A$的列向量组，$A^{\ast }$为 $A$伴随矩阵，则方程组 $A^{\ast }x=0$通解为（ ）

A. $x=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3$，其中 $k_1,k_2,k_3$为任意常数

B. $x=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_4$，其中 $k_1,k_2,k_3$为任意常数

C. $x=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_3+k_3{\alpha }_4$，其中 $k_1,k_2,k_3$为任意常数

D. $x=k_1{\alpha }_2+k_2{\alpha }_3+k_3{\alpha }_4$，其中 $k_1,k_2,k_3$为任意常数

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第 8 题

• 题型：选择题 | 分值：4分 | 考点：特征值与特征向量

8. 设 $A$为 3 阶矩阵，${\alpha }_1,{\alpha }_2$为 $A$的属于特征值 1 的线性无关的特征向量，${\alpha }_3$为 $A$的属于特征值 $-1$的特征向量，则满足 $P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$的可逆矩阵 $P$可为（ ）

A. $({\alpha }_1+{\alpha }_3,{\alpha }_2,-{\alpha }_3)$B. $({\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2,-{\alpha }_3)$C. $({\alpha }_1+{\alpha }_3,-{\alpha }_3,{\alpha }_2)$D. $({\alpha }_1+{\alpha }_2,-{\alpha }_3,{\alpha }_2)$---

第 9 题

• 题型：填空题 | 分值：4分 | 考点：导数与微分的计算

9. 参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t^2+1}\\ y=\ln (t+\sqrt{t^2+1})\end{array}$，则 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{|}_{t=1}=$_________

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第 10 题

• 题型：填空题 | 分值：4分 | 考点：二次积分与变换积分次序

10. ${\int }_0^1\mathrm{d}y{\int }_{\sqrt{y}}^1\sqrt{x^3+1}\mathrm{d}x=\underline{}$

第 11 题

• 题型：填空题 | 分值：4分 | 考点：全微分的概念与计算

11. 设 $z=\arctan [xy+\sin (x+y)]$，则 $\mathrm{d}z{|}_{(0,\pi )}=$________

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第 12 题

• 题型：填空题 | 分值：4分 | 考点：定积分的应用

12. 斜边长为 $2a$等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为 $g$，水密度为 $\rho$，则该平板一侧所受的水压力为 ______

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第 13 题

• 题型：填空题 | 分值：4分 | 考点：常系数齐次线性微分方程

13. 设 $y=y(x)$满足 $y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+y=0$，且 $y(0)=0$，$y^{\prime }(0)=1$，则 ${\int }_0^{+\infty }y(x)\mathrm{d}x=$______

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第 14 题

• 题型：填空题 | 分值：4分 | 考点：行列式

14. 行列式 $\left|\begin{array}{cccc}a& 0& -1& 1\\ 0& a& 1& -1\\ -1& 1& a& 0\\ 1& -1& 0& a\end{array}\right|=$______

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第 15 题

• 题型：解答题 | 分值：10分 | 考点：曲线的凹凸性、拐点及渐近线

15. (本题满分 10 分)
    求曲线 $y=\frac{x^{1+x}}{(1+x{)}^x}$($x>0$) 的斜渐近线方程.

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第 16 题

• 题型：解答题 | 分值：10分 | 考点：变限积分

16. (本题满分 10 分)
    已知函数 $f(x)$连续且 ${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=1$，$g(x)={\int }_0^{1}f(xt)dt$，求 $g^{\prime }(x)$并证明 $g^{\prime }(x)$在 $x=0$处连续。

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第 17 题

• 题型：解答题 | 分值：10分 | 考点：多元函数的极值问题

17. (本题满分 10 分)
    求函数 $f(x,y)=x^3+8y^3-xy$的极值.

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第 18 题

• 题型：解答题 | 分值：10分 | 考点：定积分的应用

18. (本题满分 10 分)
    设函数 $f(x)$的定义域为 $(0,+\infty )$且满足 $2f(x)+x^{2}f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x^2+2x}{\sqrt{1+x^2}}$. 求 $f(x)$, 并求曲线 $y=f(x)$, $y=\frac{1}{2}$, $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$及 $y$轴所围图形绕 $x$轴旋转一周而成的旋转体的体积.

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第 19 题

• 题型：解答题 | 分值：10分 | 考点：二重积分的计算

19. (本题满分 10 分)
    设平面区域 $D$由直线 $x=1$, $x=2$, $y=x$与 $x$轴围成, 计算 $\underset{D}{\iint }\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

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第 20 题

• 题型：解答题 | 分值：11分 | 考点：微分中值定理

20. (本题满分 11 分)
    设函数 $f(x)={\int }_1^x{e}^{t^2}dt$.

Ⅰ. 证明: 存在 $\xi \in (1,2)$, 使得 $f(\xi )=(2-\xi )e^{{\xi }^2}$Ⅱ. 证明: 存在 $\eta \in (1,2)$, 使得 $f(2)=\ln 2\cdot \eta e^{{\eta }^2}$---

第 21 题

• 题型：解答题 | 分值：11分 | 考点：微分方程的应用

21. (本题满分 11 分)
    设函数 $f(x)$可导, 且 $f^{\prime }(x)>0$, 曲线 $y=f(x)(x\ge 0)$经过坐标原点 $O$, 其上任意一点 $M$处的切线与 $x$轴交于 $T$, 又 $MP$垂直 $x$轴于点 $P$. 已知由曲线 $y=f(x)$, 直线 $MP$以及 $x$轴所围图形的面积与 $△MTP$的面积之比恒为 $3:2$, 求满足上述条件的曲线的方程.

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第 22 题

• 题型：解答题 | 分值：11分 | 考点：二次型

22. (本题满分 11 分)

设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2a{x}_1{x}_2+2a{x}_1{x}_3+2a{x}_2{x}_3$经可逆线性变换 $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)$化为二次型 $g(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2^2+4y_3^2+2y_1{y}_2$.

I. 求 $a$的值;

II. 求可逆矩阵 $P$.

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第 23 题

• 题型：解答题 | 分值：11分 | 考点：矩阵的相似与相似对角化

23. (本题满分 11 分)
    设 $A$为 2 阶矩阵，$P=(\alpha ,A\alpha )$，其中 $\alpha$是非零向量且不是 $A$的特征向量。

Ⅰ. 证明 $P$为可逆矩阵

Ⅱ. 若 $A^2\alpha +A\alpha -6\alpha =0$，求 $P^{-1}AP$，并判断 $A$是否相似于对角矩阵。

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