数学二 · 2024 年真题

来源：真题强 · 共 22 题（选择 10 / 填空 6 / 解答 6）· 2026-08-14 图片 OCR 转写为 LaTeX 文字版

第 1 题

选择题 · 5分 · 考点：函数的连续性与间断点的类型

函数 $f(x)=|x{|}^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}$ 的第一类间断点的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

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第 2 题

选择题 · 5分 · 考点：导数与微分的概念

设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=1+t^3\\ y={\mathrm{e}}^{t^2}\end{array}$ 确定， 则 $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left[f\left(2+\frac{2}{x}\right)-f(2)\right]=()$ A. $2\mathrm{e}$ B. $\frac{4\mathrm{e}}{3}$ C. $\frac{2\mathrm{e}}{3}$ D. $\frac{\mathrm{e}}{3}$

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第 3 题

选择题 · 5分 · 考点：变限积分

已知函数 $f(x)={\int }_0^{\sin x}\sin t^3\mathrm{d}t,g(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$, 则 ( ) A. $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是奇函数 B. $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是偶函数 C. $f(x)$ 是偶函数， $g(x)$ 是偶函数 D. $f(x)$ 是偶函数， $g(x)$ 是奇函数

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第 4 题

选择题 · 5分 · 考点：数列敛散性的判定

已知数列 $\{a_n\}(a_n\ne 0)$, 若 $\{a_n\}$ 发散， 则 ( ) A. $\left\{a_n+\frac{1}{a_n}\right\}$ 发散 B. $\left\{a_n-\frac{1}{a_n}\right\}$ 发散 C. $\left\{{\mathrm{e}}^{a_n}+\frac{1}{{\mathrm{e}}^{a_n}}\right\}$ 发散 D. $\left\{{\mathrm{e}}^{a_n}-\frac{1}{{\mathrm{e}}^{a_n}}\right\}$ 发散

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第 5 题

选择题 · 5分 · 考点：偏导数的概念与计算

已知函数 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{xy},& xy\ne 0\\ 0,& xy=0\end{array}$ 则在点 $(0,0)$ 处( ) A. $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ 连续， $f(x,y)$ 可微 B. $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ 连续， $f(x,y)$ 不可微 C. $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ 不连续， $f(x,y)$ 可微 D. $\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$ 不连续， $f(x,y)$ 不可微

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第 6 题

选择题 · 5分 · 考点：二次积分与变换积分次序

设 $f(x,y)$ 是连续函数， 则 ${\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}x{\int }_{\sin x}^{1}f(x,y)\mathrm{d}y=()$ A. ${\int }_{\frac{1}{2}}^1\mathrm{d}y{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\arcsin y}f(x,y)\mathrm{d}x$ B. ${\int }_{\frac{1}{2}}^1\mathrm{d}y{\int }_{\arcsin y}^{\frac{\pi }{2}}f(x,y)\mathrm{d}x$ C. ${\int }_0^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}y{\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\arcsin y}f(x,y)\mathrm{d}x$ D. ${\int }_0^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}y{\int }_{\arcsin y}^{\frac{\pi }{2}}f(x,y)\mathrm{d}x$

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第 7 题

选择题 · 5分 · 考点：反常积分的计算与敛散性 ｜ ⚠️ OCR 不完整，看原题图

[识别失败]（多次调用仅识别到部分内容，题干与①②未能识别；实际识别到的片段如下） ③ 若 ${\int }_0^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则存在 $p>1$，使得 $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{p}f(x)$ 存在. 其中真命题的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

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第 8 题

选择题 · 5分 · 考点：矩阵的运算与变换

设 $\mathbf{A}$ 为 3 阶矩阵， $\mathbf{P}=\left(\begin{array}{lll}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$, 若 ${\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}{\mathbf{P}}^2=\left(\begin{array}{ccc}a+2c& 0& c\\ 0& b& 0\\ 2c& 0& c\end{array}\right)$, 则 $\mathbf{A}=()$ A. $\left(\begin{array}{lll}c& 0& 0\\ 0& a& 0\\ 0& 0& b\end{array}\right)$ B. $\left(\begin{array}{lll}b& 0& 0\\ 0& c& 0\\ 0& 0& a\end{array}\right)$ C. $\left(\begin{array}{lll}a& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0& c\end{array}\right)$ D. $\left(\begin{array}{lll}c& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0& a\end{array}\right)$

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第 9 题

选择题 · 5分 · 考点：矩阵的秩

设 $A$ 为 4 阶矩阵， $A^{\ast }$ 为 $A$ 的伴随矩阵. 若 $A(A-A^{\ast })=O$, 且 $A\ne A^{\ast }$, 则 $r(A)$ 的取值为( ) A. 0 或 1 B. 1 或 3 C. 2 或 3 D. 1 或 2

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第 10 题

选择题 · 5分 · 考点：矩阵的相似与相似对角化

设 $A,B$ 为 2 阶矩阵， 且 $AB=BA$, 则 ”$A$ 有两个不相等的特征值” 是 ”$B$ 可对角化” 的 ( ) A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

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第 11 题

填空题 · 5分 · 考点：导数的应用

曲线 $y^2=x$ 在点 $(0,0)$ 处的曲率圆方程为 ________

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第 12 题

填空题 · 5分 · 考点：多元函数的极值问题

函数 $f(x,y)=2x^3-9x^2-6y^4+12x+24y$ 的极值点是 ____

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第 13 题

填空题 · 5分 · 考点：其他方程

微分方程 $y^{\prime }=\frac{1}{(x+y{)}^2}$ 满足条件 $y(1)=0$ 的解为 ____

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第 14 题

填空题 · 5分 · 考点：导数与微分的计算

已知函数 $f(x)=x^2({\mathrm{e}}^x+1)$，则 $f^{(5)}(1)=$ ____

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第 15 题

填空题 · 5分 · 考点：导数的应用

设某物体以速度 $v(t)=t+k\sin \pi t$ 做直线运动. 若它从 $t=0$ 到 $t=3$ 的时间段内平均速度是 $\frac{5}{2}$, 则 $k=$ ____

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第 16 题

填空题 · 5分 · 考点：向量组的线性相关性

设向量 ${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ -1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ b\\ a\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ -1\\ 1\end{array}\right)$, 若 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性相关， 且其中任意两个向量均线性无关， 则 $ab=$ ____

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第 17 题

解答题 · 10分 · 考点：二重积分的计算

(本题满分 10 分) 假设平面某有界区域 $D$ 位于第一象限， 并且由曲线 $xy=\frac{1}{3}$, $xy=3$ 与直线 $y=\frac{1}{3}x$, $y=3x$ 围成， 试计算 $\underset{D}{\iint }(1+x-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$

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第 18 题

解答题 · 12分 · 考点：其他方程

(本题满分 12 分) 设函数 $y(x)$ 为微分方程 $x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }-9y=0$ 满足条件 $y{|}_{x=1}=2,y^{\prime }{|}_{x=1}=6$ 的解. Ⅰ. 利用变换 $x=e^t$ 将上述方程化为常系数线性方程， 并求 $y(x)$; Ⅱ. 计算 ${\int }_1^{2}y(x)\sqrt{4-x^2}dx$.

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第 19 题

解答题 · 12分 · 考点：定积分的应用

(本题满分 12 分) 设 $t>0$，平面有界区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{x}{\mathrm{e}}^{-x}$ 与直线 $x=t,x=2t$ 及 $x$ 轴围成，$D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为 $V(t)$，求 $V(t)$ 的最大值.

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第 20 题

解答题 · 12分 · 考点：偏导数的概念与计算

(本题满分 12 分) 已知函数 $f(u,v)$ 具有二阶连续偏导数， 且函数 $g(x,y)=f(2x+y,3x-y)$ 满足 $\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x\partial y}-6\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}=1$. Ⅰ. 求 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u\partial v}$; Ⅱ. 若 $\frac{\partial f(u,0)}{\partial u}=u{e}^{-u}$, 且 $f(0,v)=\frac{1}{50}{v}^2-1$, 求 $f(u,v)$ 的表达式.

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第 21 题

解答题 · 12分 · 考点：微分中值定理

(本题满分 12 分) 设函数 $f(x)$ 具有二阶导数， 且 $f^{\prime }(0)=f^{\prime }(1)$, $|f^{\prime \prime }(x)|⩽1$, 证明： I. 当 $x\in (0,1)$ 时， $|f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x|⩽\frac{x(1-x)}{2}$; II. $\left|{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right|⩽\frac{1}{12}$.

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第 22 题

解答题 · 12分 · 考点：二次型

(本题满分 12 分) 设矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& a\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$, $\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\\ b& 2\end{array}\right)$, 二次型 $f(x_1,x_2,x_3)={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}\mathbf{A}\mathbf{x}$, 已知方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 的解均是 ${\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}=0$ 的解， 但两个方程组不同解. I. 求 $a,b$ 的值； II. 求正交变换 $\mathbf{x}=\mathbf{Q}\mathbf{y}$, 将 $f(x_1,x_2,x_3)$ 化为标准形.

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