数学二 · 2025 年真题

来源：真题强 · 共 22 题（选择 10 / 填空 6 / 解答 6）· 2026-08-14 图片 OCR 转写为 LaTeX 文字版

第 1 题

选择题 · 5分 · 考点：偏导数的概念与计算

设函数 $z=z(x,y)$ 由 $z+\ln z-{\int }_y^x{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=0$ 确定, 则 $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=()$ A. $\frac{z}{z+1}({\mathrm{e}}^{-x^2}-{\mathrm{e}}^{-y^2})$ B. $\frac{z}{z+1}({\mathrm{e}}^{-x^2}+{\mathrm{e}}^{-y^2})$ C. $-\frac{z}{z+1}({\mathrm{e}}^{-x^2}-{\mathrm{e}}^{-y^2})$ D. $-\frac{z}{z+1}({\mathrm{e}}^{-x^2}+{\mathrm{e}}^{-y^2})$

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第 2 题

选择题 · 5分 · 考点：曲线的凹凸性、拐点及渐近线

已知函数 $f(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{t^2}\sin t\mathrm{d}t$, $g(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{t^2}\mathrm{d}t\cdot {\sin }^{2}x$, 则 ( )

A. $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点， 也是 $g(x)$ 的极值点

B. $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点， $(0,0)$ 是曲线 $y=g(x)$ 的拐点

C. $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点， $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点

D. $(0,0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点， 也是曲线 $y=g(x)$ 的拐点

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第 3 题

选择题 · 5分 · 考点：常系数齐次线性微分方程

如果对微分方程 $y^{\prime \prime }-2a{y}^{\prime }+(a+2)y=0$ 的任一解 $y(x)$，反常积分 ${\int }_0^{+\infty }y(x)\mathrm{d}x$ 均收敛，那么 $a$ 的取值范围是( ) A. $(-2,-1]$ B. $(-\infty ,-1]$ C. $(-2,0)$ D. $(-\infty ,0)$

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第 4 题

选择题 · 5分 · 考点：无穷小量

设函数 $f(x),g(x)$ 在 $x=0$ 的某去心邻域内有定义且恒不为零， 若当 $x\to 0$ 时， $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小， 则当 $x\to 0$ 时 ( ) A. $f(x)+g(x)=o(g(x))$ B. $f(x)g(x)=o(f^2(x))$ C. $f(x)=o({\mathrm{e}}^{g(x)}-1)$ D. $f(x)=o(g^2(x))$

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第 5 题

选择题 · 5分 · 考点：二次积分与变换积分次序

设函数 $f(x,y)$ 连续， 则 ${\int }_{-2}^2\mathrm{d}x{\int }_{4-x^2}^{4}f(x,y)\mathrm{d}y=()$ A. ${\int }_0^4\left[{\int }_{-2}^{-\sqrt{4-y}}f(x,y)\mathrm{d}x+{\int }_{\sqrt{4-y}}^{2}f(x,y)\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y$ B. ${\int }_0^4\left[{\int }_{-2}^{\sqrt{4-y}}f(x,y)\mathrm{d}x+{\int }_{\sqrt{4-y}}^{2}f(x,y)\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y$ C. ${\int }_0^4\left[{\int }_{-2}^{-\sqrt{4-y}}f(x,y)\mathrm{d}x+{\int }_2^{\sqrt{4-y}}f(x,y)\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y$ D. $2{\int }_0^4\mathrm{d}y{\int }_{\sqrt{4-y}}^{2}f(x,y)\mathrm{d}x$

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第 6 题

选择题 · 5分 · 考点：定积分的应用

设单位质点 $P,Q$ 分别位于点 $(0,0)$ 和 $(0,1)$ 处， $P$ 从点 $(0,0)$ 出发沿 $x$ 正向移动， 记 $G$ 为引力常量， 则当质点 $P$ 移动到点 $(l,0)$ 时， 克服质点 $Q$ 的引力所做的功为 $()$ A. ${\int }_0^l\frac{G}{x^2+1}\mathrm{d}x$ B. ${\int }_0^l\frac{Gx}{(x^2+1{)}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x$ C. ${\int }_0^l\frac{G}{(x^2+1{)}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x$ D. ${\int }_0^l\frac{G(x+1)}{(x^2+1{)}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x$

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第 7 题

选择题 · 5分 · 考点：导数与微分的概念

设函数 $f(x)$ 连续， 给出下列四个条件： ① $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|f(x)|-f(0)}{x}$ 存在；② $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-|f(0)|}{x}$ 存在；③ $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|f(x)|}{x}$ 存在；④ $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$ 存在； 其中能得到 ”$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导” 的条件个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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第 8 题

选择题 · 5分 · 考点：特征值与特征向量

设矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& a& 0\\ 0& 0& b\end{array}\right)$ 有一个正特征值和两个负特征值， 则( )

A. $a>4,b>0$

B. $a<4,b>0$

C. $a>4,b<0$

D. $a<4,b<0$

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第 9 题

选择题 · 5分 · 考点：矩阵的运算与变换

下列矩阵中，可以经过若干初等行变换得到矩阵$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$的是( )

A.$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 1& 2& 1& 3\\ 2& 3& 1& 4\end{array}\right)$

B.$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& 1\\ 1& 1& 2& 5\\ 1& 1& 1& 3\end{array}\right)$

C.$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

D.$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 3\\ 1& 2& 2& 3\\ 2& 3& 4& 6\end{array}\right)$

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第 10 题

选择题 · 5分 · 考点：线性方程组

设 3 阶矩阵 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 满足 $r(\mathbf{AB})=r(\mathbf{BA})+1$，则 ( )

A. 方程组 $(\mathbf{A}+\mathbf{B})\mathbf{x}=0$ 只有零解

B. 方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 与方程组 $\mathbf{B}\mathbf{x}=0$ 均只有零解

C. 方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 与方程组 $\mathbf{B}\mathbf{x}=0$ 没有公共非零解

D. 方程组 $\mathbf{AB}\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 与方程组 $\mathbf{BA}\mathbf{B}\mathbf{x}=0$ 有公共非零解

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第 11 题

填空题 · 5分 · 考点：反常积分的计算与敛散性

设 ${\int }_1^{+\infty }\frac{a}{x(2x+a)}\mathrm{d}x=\ln 2$，则 $a=$______

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第 12 题

填空题 · 5分 · 考点：曲线的凹凸性、拐点及渐近线

曲线 $y=\sqrt[3]{x^3-3x^2+1}$ 的渐近线方程为 ____

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第 13 题

填空题 · 5分 · 考点：定积分的概念与性质

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}\left[\ln \frac{1}{n}+2\ln \frac{2}{n}+\cdots +(n-1)\ln \frac{n-1}{n}\right]=$______

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第 14 题

填空题 · 5分 · 考点：导数与微分的计算

已知函数 $y=y(x)$ 由

$$\{\begin{array}{l}x=\ln (1+2t)\\ 2t-{\int }_1^{y+t^2}{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u=0\end{array}$$

确定， 则 ${\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{t=0}=$______

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第 15 题

填空题 · 5分 · 考点：微分方程的解与线性微分方程的解的结构

微分方程 $(2y-3x)\mathrm{d}x+(2x-5y)\mathrm{d}y=0$ 满足条件 $y(1)=1$ 的解为 ____

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第 16 题

填空题 · 5分 · 考点：线性方程组

设矩阵 $\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4)$，若 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关，且 ${\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2={\mathbf{\alpha }}_3+{\mathbf{\alpha }}_4$，则方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}={\mathbf{\alpha }}_1+4{\mathbf{\alpha }}_4$ 的通解为 $\mathbf{x}=$ ____

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第 17 题

解答题 · 10分 · 考点：定积分的计算

计算 ${\int }_0^1\frac{1}{(x+1)(x^2-2x+2)}\mathrm{d}x$．

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第 18 题

解答题 · 12分 · 考点：导数与微分的概念

(本题满分 12 分) 设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续， 且 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{xf(x)-{\mathrm{e}}^{2\sin x}+1}{\ln (1+x)+\ln (1-x)}=-3$, 证明 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导， 并求 $f^{\prime }(0)$.

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第 19 题

解答题 · 12分 · 考点：多元函数的极值问题

(本题满分 12 分) 设函数 $f(x,y)$ 可微且满足： $\mathrm{d}f(x,y)=-2x{\mathrm{e}}^{-y}\mathrm{d}x+{\mathrm{e}}^{-y}(x^2-y-1)\mathrm{d}y,f(0,0)=2$ 求 $f(x,y)$，并求 $f(x,y)$ 的极值.

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第 20 题

解答题 · 12分 · 考点：二重积分的计算

(本题满分 12 分) 已知平面有界区域 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2⩽4x,x^2+y^2⩽4y\}$，计算 $\underset{D}{\iint }(x-y{)}^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.

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第 21 题

解答题 · 12分 · 考点：微分中值定理

(本题满分 12 分) 设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内可导， 证明导函数 $f^{\prime }(x)$ 在 $(a,b)$ 内严格单调增加的充分必要条件是： 对 $(a,b)$ 内任意的 $x_1,x_2,x_3$, 当 $x_1<x_2<x_3$ 时， 有 $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}$.

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第 22 题

解答题 · 12分 · 考点：矩阵的相似与相似对角化

(本题满分 12 分) 已知矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 1& 1& 1\\ -2& 1& a\end{array}\right)$ 与 $\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}k& 0& 0\\ 0& 6& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ 合同.

I. 求 $a$ 的值及 $k$ 的范围.

II. 若存在正交矩阵 $\mathbf{Q}$, 使得 ${\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{B}$, 求 $k$ 及 $\mathbf{Q}$.

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