数学二 · 2026 年真题

来源：真题强 · 共 22 题（选择 10 / 填空 6 / 解答 6）· 2026-08-14 图片 OCR 转写为 LaTeX 文字版

第 1 题

选择题 · 5分 · 考点：无穷小量

已知当 $x\to 0$ 时，$a{x}^2+bx+\arcsin x$ 与 $\sqrt[3]{1+x^2}-1$ 是等价无穷小，则（ ）

（A）$a=\frac{1}{3},b=-1$

（B）$a=\frac{1}{3},b=1$

（C）$a=\frac{2}{3},b=-1$

（D）$a=\frac{2}{3},b=1$

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第 2 题

选择题 · 5分 · 考点：微分方程的解与线性微分方程的解的结构

设 $y_1(x),y_2(x)$ 是某 2 阶非齐次线性微分方程的两个特解，若常数 $\lambda ,\mu$ 使得 $2\lambda y_1(x)+\mu y_2(x)$ 是该方程的解，$\lambda y_1(x)-2\mu y_2(x)$ 是该方程对应的齐次方程的解，则（ ）

(A) $\lambda =\frac{1}{5},\mu =\frac{2}{5}$

(B) $\lambda =\frac{2}{5},\mu =\frac{1}{5}$

(C) $\lambda =\frac{1}{4},\mu =\frac{1}{2}$

(D) $\lambda =\frac{1}{2},\mu =\frac{1}{4}$

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第 3 题

选择题 · 5分 · 考点：偏导数的概念与计算

设函数 $z=z(x,y)$ 由方程 $x-az={\mathrm{e}}^{y+az}$（$a$ 是非零常数）确定，则（ ）

（A）$\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{a}$

（B）$\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{a}$

（C）$\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{a}$

（D）$\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{1}{a}$

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第 4 题

选择题 · 5分 · 考点：定积分的应用

线密度为 1 的细直棒的两个端点分别位于点 $(-1,0)$ 和点 $(1,0)$ 处，质量为 $m$ 的质点位于点 $(0,1)$ 处，$G$ 为引力常量，则该细直棒对该质点的引力大小为（ ）

(A) ${\int }_0^1\frac{2Gmx}{(x^2+1{)}^{\frac{1}{2}}}dx$

(B) ${\int }_0^1\frac{2Gm}{(x^2+1{)}^{\frac{1}{2}}}dx$

(C) ${\int }_0^1\frac{2Gmx}{(x^2+1{)}^{\frac{3}{2}}}dx$

(D) ${\int }_0^1\frac{2Gm}{(x^2+1{)}^{\frac{3}{2}}}dx$

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第 5 题

选择题 · 5分 · 考点：函数的单调性、极值与最值 ｜ ⚠️ 题干 OCR 不完整，看原题图

[题干未识别]（多次识别仅得到如下选项，题干文字未识别到） (A) 当$f(x)$在$(-1,0)$单调递减，在$(0,1)$单调递增时，$f(0)$是极小值 (B) 当$f(0)$是极小值时，$f(x)$在$(-1,0)$单调递减，在$(0,1)$单调递增 (C) 当$f(x)$的图形在$[-1,1]$是凹的时，$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$在$[-1,1)$单调递增 (D) 当$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$在$[-1,1)$单调递增时，$f(x)$的图形在$[-1,1]$是凹的

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第 6 题

选择题 · 5分 · 考点：导数与微分的计算

已知函数 $f(x)={\int }_1^{x^3}\frac{e^t}{1+t^2}dt$，$f$ 的反函数为 $g$，则（ ）

（A）$g(0)=1,g^{\prime }(0)=\frac{3}{2}e$

（B）$g(0)=1,g^{\prime }(0)=\frac{2}{3e}$

（C）$g(1)=0,g^{\prime }(1)=\frac{3}{2}e$

（D）$g(1)=0,g^{\prime }(1)=\frac{2}{3e}$

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第 7 题

选择题 · 5分 · 考点：二重积分的概念与性质

设函数 $f(x,y)$ 在区域 $D=\{(x,y)|0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$ 上连续，且 $f(x,y)=f(y,x)$，则 $\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=()$ (A) $2\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\sum _{j=n+1-i}^{n}f(\frac{i}{n},\frac{j}{n})\frac{1}{n^2}$ (B) $\frac{1}{2}\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}f(\frac{i}{n},\frac{j}{n})\frac{1}{n^2}$ (C) $2\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{2n}\sum _{j=1}^{2n+1-i}f(\frac{i}{2n},\frac{j}{2n})\frac{1}{n^2}$ (D) $\frac{1}{2}\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{2n}\sum _{j=1}^{i}f(\frac{i}{2n},\frac{j}{2n})\frac{1}{n^2}$

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第 8 题

选择题 · 5分 · 考点：伴随矩阵与可逆矩阵

单位矩阵经若干次互换两行得到的矩阵称为置换矩阵. 设 $A$ 为 $n$ 阶置换矩阵，$A^{\ast }$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则（ ）

（A）$A^{\ast }$ 为置换矩阵

（B）$A^{-1}$ 为置换矩阵

（C）$A^{-1}=A^{\ast }$

（D）$A^{-1}=-A^{\ast }$

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第 9 题

选择题 · 5分 · 考点：线性方程组 ｜ ⚠️ 题干 OCR 不完整，看原题图

[题干未识别]（识别仅得到如下选项，题干文字未识别到） (A) $a=-1$，$b=-1$ (B) $a=2$，$b=2$ (C) $a=-1$，$b=2$ (D) $a=2$，$b=-1$

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第 10 题

选择题 · 5分 · 考点：特征值与特征向量

设 3 阶矩阵 $A$，$B$，满足 $AB+BA=A^2+B^2$，则 $A\ne B$，则下列结论错误的是( ) (A) $(A-B{)}^3=0$ (B) $A-B$ 只有零特征值 (C) $A$，$B$ 不能都是对角矩阵 (D) $A-B$ 只有一个线性无关的特征向量

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第 11 题

填空题 · 5分 · 考点：反常积分的计算与敛散性

设 $p$ 为常数，若反常积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\arctan x}{x^p(x+1)}\mathrm{d}x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是____.

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第 12 题

填空题 · 5分 · 考点：函数极限的计算

设 $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x}-\frac{\ln (1+x)}{x\sin x}\right)=$______.

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第 13 题

填空题 · 5分 · 考点：导数的应用

设曲线 $x^2+2\sqrt{3}xy+y^2=1$ 在点 $(0,1)$ 处的曲率半径为____.

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第 14 题

填空题 · 5分 · 考点：全微分的概念与计算

已知函数 $f(x,y)$ 可微，且 $df(0,0)=\pi dx+3dy$，记 $g(x)=f(\ln x,\sin \pi x)$，则 $g^{\prime }(1)=$ ____.

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第 15 题

填空题 · 5分 · 考点：定积分的计算

函数 $f(x)=\ln (2+x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的平均值为______.

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第 16 题

填空题 · 5分 · 考点：二次型

设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& b& -1\\ a+2& 3& -3a\end{array}\right)$，若二次型 $x^T(A{A}^T)x$ 的规范形为 $y_1^2$，则 $a+b=$______.

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第 17 题

解答题 · 10分 · 考点：二重积分的计算

计算 $I={\int }_{-1}^{1}dx{\int }_{|x|}^{\sqrt{2-x^2}}y\sin \sqrt{x^2+y^2}dy$．

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第 18 题

解答题 · 12分 · 考点：变限积分

（本题满分 10 分） 设幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1}$ 的和函数为 $S(x)$。 (1) 求 $S(x)$ 的表达式； (2) 设 $f(x)=\frac{x^3}{1+x^2}$，求 $S(x)$ 的极值。

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第 19 题

解答题 · 12分 · 考点：多元函数的极值问题

(本题满分 12 分) 求函数 $f(x,y)=\left(2x^2-y^2\right)e^x$ 的极值.

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第 20 题

解答题 · 12分 · 考点：定积分的应用

(本题满分 12 分) 已知 $M(x_0,y_0)$ 是曲线 $y=\frac{1}{1+x^2}(x\ge 0)$ 的拐点，$O$ 为坐标原点，记 $D$ 是第一象限中以曲线 $y=\frac{1}{1+x^2}(x\ge x_0)$，线段 $OM$ 及 $x$ 正半轴为边界的无界区域，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积.

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第 21 题

解答题 · 12分 · 考点：其他方程

(本题满分 12 分) 求微分方程 $x^2{y}^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }-(y^{\prime }{)}^2=0(x>2)$ 满足条件 $y{|}_{x=3}=\frac{1}{2}$，$y^{\prime }{|}_{x=3}=-9$ 的解.

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第 22 题

解答题 · 12分 · 考点：向量组的线性相关性

(本题满分 12 分) 已知 $\mathbf{A}$ 为 3 阶实对称矩阵，${\mathbf{A}}^3-{\mathbf{A}}^2+\mathbf{A}-\mathbf{E}=\mathbf{O}$，证明 $\mathbf{A}$ 是正定矩阵.

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