行列式的计算

来源：腾讯文档《2027考研数学30天120分刷题计划——数学二》之「考点：行列式的计算」。原文档公式以图片形式导出，此处已全部还原为可编辑 LaTeX。原文档中的「30天/15天倒计时」小组件已略去。

必会知识点

一、行列式的性质

设 $D = ∣ a_{ij} ∣$ 是 $n$ 阶行列式，则：

转置不变： $D = D^{T}$ 。
互换变号：互换 $D$ 的两行（列），行列式变号；由此，当 $D$ 中有两行（列）相等时， $D = 0$ 。
提公因子：用数 $k$ 乘 $D$ 的某行（列），行列式等于 $k D$ ；由此，当 $D$ 中有两行（列）的元素对应成比例时， $D = 0$ 。
可加性：若 $D$ 的某行（列）各元素均为两数之和，则 $D$ 等于相应的两个行列式之和：

a_{11} ⋮ a_{i 1} + a_{i 1}^{'} ⋮ a_{n 1} a_{12} ⋮ a_{i 2} + a_{i 2}^{'} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots a_{1 n} ⋮ a_{in} + a_{in}^{'} ⋮ a_{nn} = a_{11} ⋮ a_{i 1} ⋮ a_{n 1} a_{12} ⋮ a_{i 2} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots a_{1 n} ⋮ a_{in} ⋮ a_{nn} + a_{11} ⋮ a_{i 1}^{'} ⋮ a_{n 1} a_{12} ⋮ a_{i 2}^{'} ⋮ a_{n 2} \dots \dots \dots a_{1 n} ⋮ a_{in}^{'} ⋮ a_{nn}

倍加不变：将 $D$ 的某行（列）乘以数 $k$ 加到另一行（列），行列式不变。

二、运算性质（与矩阵结合）

以下 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵， $λ$ 为数， $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵。

(6) 行列式的乘除

$∣ A B ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣, ∣ λ A ∣ = λ^{n} ∣ A ∣, ∣ A^{- 1} ∣ = ∣ A ∣^{- 1}, ∣ A^{*} ∣ = ∣ A ∣^{n - 1} (n ⩾ 2) .$

(7) 可逆矩阵的若干结论

$∣ A ∣ \neq = 0, A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} A^{*}, (A^{- 1})^{- 1} = A, (λ A)^{- 1} = \frac{1}{λ} A^{- 1} (λ \neq = 0),$

$(A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T}, (A^{*})^{- 1} = (A^{- 1})^{*} = \frac{1}{∣ A ∣} A .$

(8) 伴随矩阵的运算

$A A^{*} = A^{*} A = ∣ A ∣ E_{n}, (A^{*})^{*} = ∣ A ∣^{n - 2} A, (λ A)^{*} = λ^{n - 1} A^{*}, (A^{T})^{*} = (A^{*})^{T} .$

(9) 矩阵乘积的转置、逆、伴随

$(A B)^{T} = B^{T} A^{T}, (A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1} (A, B 均可逆), (A B)^{*} = B^{*} A^{*} .$

(10) 分块矩阵的行列式

设 $M_{1}, M_{2}$ 分别为 $m$ 阶、 $n$ 阶矩阵， $P, Q$ 为相应矩阵，则

M_{1} O O M_{2} = M_{1} O P M_{2} = M_{1} Q O M_{2} = ∣ M_{1} ∣∣ M_{2} ∣,

O M_{2} M_{1} O = O M_{2} M_{1} P = Q M_{2} M_{1} O = (- 1)^{mn} ∣ M_{1} ∣∣ M_{2} ∣.

三、行列式展开定理

设 $D$ 为 $n$ 阶行列式， $A_{ij}$ 为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，则

D = j = 1 \sum n a_{ij} A_{ij} (按第 i 行展开, i = 1, 2, \dots, n),

D = i = 1 \sum n a_{ij} A_{ij} (按第 j 列展开, j = 1, 2, \dots, n) .

注：异行（列）代数余子式之和为 $0$ 。对 $i = 1, 2, \dots, n$ ，有 $j = 1 \sum n a_{ij} A_{k j} = 0 (k \neq = i)$ ；对 $j = 1, 2, \dots, n$ ，有 $i = 1 \sum n a_{ij} A_{ik} = 0 (k \neq = j)$ 。

典型真题

【2021 · 数学二 · 第 16 题】

设多项式

f (x) = x 122 x x 1 - 1 12 x 1 2 x - 1 1 x,

求 $f (x)$ 中 $x^{3}$ 项的系数。

【解析】

① 逆序数与符号

设 $p_{1} p_{2} \dots p_{n}$ 为 $1, 2, \dots, n$ 的一个排列，其逆序数定义为

τ (p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}) = i = 1 \sum n - 1 j = i + 1 \sum n 1_{p_{i} > p_{j}} .

排列的符号为

sgn (p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}) = {+ 1, - 1, τ (p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}) 为偶数, τ (p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}) 为奇数 .

示例：排列 $(3, 1, 4, 2)$ 的逆序数

τ (3, 1, 4, 2) = 3 与 1, 2 2 + 1 的右侧 0 + 4 与 2 1 + 2 的右侧 0 = 2 + 0 + 1 + 0 = 3.

② 行列式的定义

行列式等于所有取自不同行、不同列的 $n$ 个元素乘积之代数和：

det (A) = σ \in S_{n} \sum sgn (σ) i = 1 \prod n a_{i, σ (i)} = (p_{1}, \dots, p_{n}) \sum (- 1)^{τ (p_{1}, \dots, p_{n})} a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} \dots a_{n p_{n}} .

以三阶行列式为例，用逆序数展开为 6 项：

a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33} = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{13} a_{22} a_{31} .

③ 求 $x^{3}$ 的系数

由于所给行列式的元素均为常数或 $x$ 的倍数，根据行列式的定义，要出现 $x^{3}$ 项，必须从不同行、不同列中取出 3 个含 $x$ 的元素相乘（第 4 个元素取不含 $x$ 的常数）。

将行列式记为 $det (a_{ij})$ 。

$a_{11} = x$ 不能取：若取 $a_{11}$ ，则第一行中的 $x$ 与 $2 x$ 均不能再取。于是剩余 2 个含 $x$ 的元素必来自主对角线上的 $a_{22}, a_{33}, a_{44}$ 。无论取其中哪两个，第 4 个元素也只能落在主对角线上，最终得到 $x^{4}$ 而非 $x^{3}$ 。
故 $a_{11}$ 不取， $x$ 必来自后三列；而第三列中仅 $a_{33} = x$ ，故 $a_{33}$ 必取。再按第二列分两种情形：

(1) 第二列取 $a_{12} = x$ ：组合为 $a_{12} a_{21} a_{33} a_{44}$ ，对应排列 $2, 1, 3, 4$ ，逆序数 $τ = 1$ ，故

该项 = (- 1)^{1} \cdot 1 \cdot x^{3} = - x^{3} .

(2) 第二列取 $a_{22} = x$ ：组合为 $a_{14} a_{22} a_{33} a_{41}$ （其中 $a_{14} = 2 x$ 、 $a_{41} = 2$ ），对应排列 $4, 2, 3, 1$ ，逆序数 $τ = 5$ ，故

该项 = (- 1)^{5} \cdot 2 \cdot 2 x^{3} = - 4 x^{3} .

因此 $f (x)$ 的 $x^{3}$ 项为 $- x^{3} - 4 x^{3} = - 5 x^{3}$ ，即 $x^{3}$ 的系数为 $- 5$ 。

考研数学知识库

探索

考点-行列式的计算