数学二 · 2023 年真题

来源：真题强 · 共 22 题（选择 10 / 填空 6 / 解答 6）· 2026-08-14 图片 OCR 转写为 LaTeX 文字版

第 1 题

选择题 · 5分 · 考点：曲线的凹凸性、拐点及渐近线

曲线 $y=x\ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x-1}\right)$ 的斜渐近线方程为（　） A. $y=x+\mathrm{e}$ B. $y=x+\frac{1}{\mathrm{e}}$ C. $y=x$ D. $y=x-\frac{1}{\mathrm{e}}$

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第 2 题

选择题 · 5分 · 考点：不定积分的计算

函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},& x⩽0\\ (x+1)\cos x,& x>0\end{array}$ 的一个原函数为（　）

A. $F(x)=\{\begin{array}{ll}\ln (\sqrt{1+x^2}-x),& x⩽0\\ (x+1)\cos x-\sin x,& x>0\end{array}$

B. $F(x)=\{\begin{array}{ll}\ln (\sqrt{1+x^2}-x)+1,& x⩽0\\ (x+1)\cos x-\sin x,& x>0\end{array}$

C. $F(x)=\{\begin{array}{ll}\ln (\sqrt{1+x^2}+x),& x⩽0\\ (x+1)\sin x+\cos x,& x>0\end{array}$

D. $F(x)=\{\begin{array}{ll}\ln (\sqrt{1+x^2}+x)+1,& x⩽0\\ (x+1)\sin x+\cos x,& x>0\end{array}$

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第 3 题

选择题 · 5分 · 考点：无穷小量

已知数列 $\{x_n\},\{y_n\}$ 满足 $x_1=y_1=\frac{1}{2},x_{n+1}=\sin x_n,y_{n+1}=y_n^2(n=1,2,\cdots )$，则当 $n\to \infty$ 时，（　）

A. $x_n$ 是 $y_n$ 的高阶无穷小

B. $y_n$ 是 $x_n$ 的高阶无穷小

C. $x_n$ 是 $y_n$ 的等价无穷小

D. $x_n$ 是 $y_n$ 的同阶但非等价无穷小

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第 4 题

选择题 · 5分 · 考点：常系数齐次线性微分方程

若微分方程 $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$ 的解在 $(-\infty ,+\infty )$ 上有界，则 $a,b$ 的取值范围为（　） A. $a<0,b>0$ B. $a>0,b>0$ C. $a=0,b>0$ D. $a=0,b<0$

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第 5 题

选择题 · 5分 · 考点：导数与微分的概念

设函数 $y=f(x)$ 由 $\{\begin{array}{l}x=2t+|t|\\ y=|t|\sin t\end{array}$ 确定，则（　）

A. $f(x)$ 连续，$f^{\prime }(0)$ 不存在

B. $f^{\prime }(0)$ 存在，$f^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 处不连续

C. $f^{\prime }(x)$ 连续，$f^{\prime \prime }(0)$ 不存在

D. $f^{\prime \prime }(0)$ 存在，$f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x=0$ 处不连续

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第 6 题

选择题 · 5分 · 考点：反常积分的计算与敛散性

若函数 $f(\alpha )={\int }_2^{+\infty }\frac{1}{x(\ln x{)}^{\alpha +1}}\mathrm{d}x$ 在 $\alpha ={\alpha }_0$ 处取得最小值，则 ${\alpha }_0=$（　） A. $-\frac{1}{\ln (\ln 2)}$ B. $-\ln (\ln 2)$ C. $\frac{1}{\ln 2}$ D. $\ln 2$

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第 7 题

选择题 · 5分 · 考点：曲线的凹凸性、拐点及渐近线

设函数 $f(x)=(x^2+a)e^x$，若 $f(x)$ 没有极值点，但曲线 $y=f(x)$ 有拐点，则 $a$ 的取值范围是（　）

A. $[0,1)$

B. $[1,+\infty )$

C. $[1,2)$

D. $[2,+\infty )$

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第 8 题

选择题 · 5分 · 考点：伴随矩阵与可逆矩阵

设 $A,B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，$M^{\ast }$ 为矩阵 $M$ 的伴随矩阵，则 ${\left(\begin{array}{cc}A& E\\ O& B\end{array}\right)}^{\ast }=$（　）

A. $\left(\begin{array}{cc}|A|B^{\ast }& -B^{\ast }{A}^{\ast }\\ O& |B|A^{\ast }\end{array}\right)$

B. $\left(\begin{array}{cc}|A|B^{\ast }& -A^{\ast }{B}^{\ast }\\ O& |B|A^{\ast }\end{array}\right)$

C. $\left(\begin{array}{cc}|B|A^{\ast }& -B^{\ast }{A}^{\ast }\\ O& |A|B^{\ast }\end{array}\right)$

D. $\left(\begin{array}{cc}|B|A^{\ast }& -A^{\ast }{B}^{\ast }\\ O& |A|B^{\ast }\end{array}\right)$

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第 9 题

选择题 · 5分 · 考点：二次型

二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2{)}^2+(x_1+x_3{)}^2-4(x_2-x_3{)}^2$ 的规范形为（　）

A. $y_1^2+y_2^2$

B. $y_1^2-y_2^2$

C. $y_1^2+y_2^2-4y_3^2$

D. $y_1^2+y_2^2-y_3^2$

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第 10 题

选择题 · 5分 · 考点：向量组之间的线性表示

已知向量 ${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$，${\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$，${\mathbf{\beta }}_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ 9\end{array}\right)$，${\mathbf{\beta }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$，若 $\gamma$ 既可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 线性表示，也可由 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2$ 线性表示，则 $\gamma =$（　）

A. $k\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 4\end{array}\right),k\in \mathbf{R}$

B. $k\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 10\end{array}\right),k\in \mathbf{R}$

C. $k\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right),k\in \mathbf{R}$

D. $k\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 8\end{array}\right),k\in \mathbf{R}$

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第 11 题

填空题 · 5分 · 考点：确定极限中的参数

当 $x\to 0$ 时，函数 $f(x)=ax+b{x}^2+\ln (1+x)$ 与 $g(x)={\mathrm{e}}^{x^2}-\cos x$ 是等价无穷小，则 $ab=$ ____

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第 12 题

填空题 · 5分 · 考点：定积分的应用

曲线 $y={\int }_{-\sqrt{3}}^x\sqrt{3-t^2}\mathrm{d}t$ 的弧长为 ____

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第 13 题

填空题 · 5分 · 考点：偏导数的概念与计算

设函数 $z=z(x,y)$ 由 ${\mathrm{e}}^z+xz=2x-y$ 确定，则 ${\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}|}_{(1,1)}=$ ____

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第 14 题

填空题 · 5分 · 考点：导数的应用

曲线 $3x^3=y^5+2y^3$ 在 $x=1$ 对应点处的法线斜率为 ____

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第 15 题

填空题 · 5分 · 考点：定积分的计算

设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x+2)-f(x)=x$，${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=0$，则 ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=$ ____

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第 16 题

填空题 · 5分 · 考点：线性方程组

已知线性方程组 $\{\begin{array}{l}a{x}_1+x_3=1\\ x_1+a{x}_2+x_3=0\\ x_1+2x_2+a{x}_3=0\\ a{x}_1+b{x}_2=2\end{array}$ 有解，其中 $a,b$ 为常数，若 $\left|\begin{array}{ccc}a& 0& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 2& a\end{array}\right|=4$，则 $\left|\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ 1& 2& a\\ a& b& 0\end{array}\right|=$ ____

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第 17 题

解答题 · 10分 · 考点：微分方程的应用

（本题满分 10 分） 设曲线 $L:y=y(x)(x>\mathrm{e})$ 经过点 $({\mathrm{e}}^2,0)$，$L$ 上任一点 $P(x,y)$ 到 $y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距.

Ⅰ. 求 $y(x)$；

Ⅱ. 在 $L$ 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积.

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第 18 题

解答题 · 12分 · 考点：多元函数的极值问题

（本题满分 12 分） 求函数 $f(x,y)=x{\mathrm{e}}^{\cos y}+\frac{x^2}{2}$ 的极值.

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第 19 题

解答题 · 12分 · 考点：定积分的应用

（本题满分 12 分） 已知平面区域 $D=\left\{(x,y)|0⩽y⩽\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}},x⩾1\right\}$.

Ⅰ. 求 $D$ 的面积；

Ⅱ. 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积.

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第 20 题

解答题 · 12分 · 考点：二重积分的计算

（本题满分 12 分） 设平面有界区域 $D$ 位于第一象限，由曲线 $x^2+y^2-xy=1$、$x^2+y^2-xy=2$ 与直线 $y=\sqrt{3}x$、$y=0$ 围成，计算 $\underset{D}{\iint }\frac{1}{3x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$

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第 21 题

解答题 · 12分 · 考点：微分中值定理

（本题满分 12 分） 设函数 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上具有二阶连续导数，证明：

Ⅰ. 若 $f(0)=0$，则存在 $\xi \in (-a,a)$，使得 $f^{\prime \prime }(\xi )=\frac{1}{a^2}[f(a)+f(-a)]$；

Ⅱ. 若 $f(x)$ 在 $(-a,a)$ 内取得极值，则存在 $\eta \in (-a,a)$，使得 $|f^{\prime \prime }(\eta )|⩾\frac{1}{2a^2}|f(a)-f(-a)|$.

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第 22 题

解答题 · 12分 · 考点：矩阵的相似与相似对角化

（本题满分 12 分） 设矩阵 $\mathbf{A}$ 满足：对任意 $x_1,x_2,x_3$ 均有 $\mathbf{A}\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_3\\ 2x_1-x_2+x_3\\ x_2-x_3\end{array}\right)$.

Ⅰ. 求 $\mathbf{A}$；

Ⅱ. 求可逆矩阵 $\mathbf{P}$ 与对角矩阵 $\mathbf{\Lambda }$，使得 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{\Lambda }$.

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